Bài tập 4, § 4

.

4) Cho $n$ là một số nguyên $\geq 2$.

a) Cho $g\in \mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ với det $g=-1$; chứng minh rằng tự đẳng cấu Int $g$ của $\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ cảm sinh một tự đẳng cấu của $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ không phải là nội.

b) Với $n\geq 2$, nhóm Aut($\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$) bằng Int($\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$) (đẳng cấu với $\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})/\{\pm I_{2n}\}$).

c) Thiết lập một kết quả tương tự cho Spin$(2n,\mathbf{R})$ và $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})/\{\pm I_{2n}\}$. Nếu $n$ là chẵn và $\not= 2$, mọi tự đẳng cấu của nhóm Spin$(2n,\mathbf{R})/\{1, \varepsilon \}($§3, Exerc.