Exercice 4, § 4

Soit $n$ un entier $\geqslant 2$. a) Soit $g \in \mathbf{O}(2n, \mathbf{R})$ avec $\det g = -1$; montrer que l’automorphisme $\mathrm{Int}\ g$ de $\mathbf{O}(2n, \mathbf{R})$ induit un automorphisme de $\mathrm{SO}(2n, \mathbf{R})$ qui n’est pas intérieur. b) Pour $n \geqslant 2$, le groupe $\mathrm{Aut}(\mathrm{SO}(2n, \mathbf{R}))$ est égal à $\mathrm{Int}(\mathbf{O}(2n, \mathbf{R}))$ (isomorphe à $\mathbf{O}(2n, \mathbf{R})/\{ \pm I_{2n} \}$). c) Établir un résultat analogue pour les groupes $\mathrm{Spin}(2n, \mathbf{R})$ et $\mathrm{SO}(2n, \mathbf{R})/\{ \pm I_{2n} \}$. Si $n$ est pair $\neq 2$, tout automorphisme du groupe $\mathrm{Spin}(2n, \mathbf{R})/\{ 1, \varepsilon \}$ (§ 3, exerc. 5) est intérieur.