Bài tập 7, § 4

Cho $\tau : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ là một biểu diễn liên tục của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều. Giả sử rằng với mọi $\lambda \in X(T)$, ta có dim$_{\mathbf{C}}\widetilde{V}_{\lambda}\leq 1$.

a) Chứng minh rằng biểu diễn $\tau$ là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn $(\tau_i)_{1\leq i\leq s}$ các biểu diễn bất khả quy, đôi một không đẳng cấu, có các vành giao hoán tử $K_i(1\leq i\leq s)$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$.

b) Có một cấu trúc không gian vectơ $\mathbf{C}$ trên V sao cho các phép toán của $\tau (G)$ là tuyến tính $\mathbf{C}$ khi và chỉ khi $K_1, . . . ,K_s$ đẳng cấu với $\mathbf{C}$; khi đó có $2^s$ cấu trúc kiểu này.