Exercice 7, § 4

Soit $\tau : G \to \mathrm{GL}(V)$ une représentation continue de $G$ dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On suppose que pour tout $\lambda \in X(T)$, on a $\dim_C \tilde{V}_\lambda \leqslant 1$. a) Montrer que la représentation $\tau$ est somme directe d’une famille finie $(\tau_i)_{1 \leqslant i \leqslant s}$ de représentations irréductibles, deux à deux non isomorphes, dont les commutants $K_i$ ($1 \leqslant i \leqslant s$) sont isomorphes à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$. b) Pour qu’il existe sur $V$ une structure de $\mathbf{C}$-espace vectoriel pour laquelle les opérations de $\tau(G)$ soient $\mathbf{C}$-linéaires, il faut et il suffit que $K_1, ..., K_s$ soient isomorphes à $\mathbf{C}$; il y a alors $2^s$ structures de ce type.