Bài tập 9, § 4

Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G, có hạng lớn nhất, khác G và cực đại đối với các tính chất ấy. Ký hiệu bởi Z nhóm thương $C(H)/C(G)$.

a) Ta có dim $Z\leq 1$; nếu dim Z = 0, thì Z có cấp $2,3$ hoặc 5 (rút gọn về trường hợp trong đó G là gần đơn, với tâm tầm thường; áp dụng Chương VI, §4, Bài tập 4).

b) Giả sử rằng G là gần đơn và rằng Z có cấp 3 hoặc 5; đặt $z=$ Card(Z) và $\pi =$ Card($\pi_1(H)$)$/$Card($\pi_1(G)$). Chứng minh rằng ta phải rơi vào một trong bảy trường hợp sau:

(i) G có kiểu $G_2, H$ có kiểu $A_2$, và $z= 3, \pi = 1$;

(ii) G có kiểu $F_4, H$ có kiểu $A_2\times A_2$, và $z=\pi = 3$;

(iii) G có kiểu $E_6, H$ có kiểu $A_2\times A_2\times A_2$, và $z=\pi = 3$; (iv) G có kiểu $E_7, H$ có kiểu $A_2\times A_5$, và $z=\pi = 3$;

(v) G có kiểu $E_8, H$ có kiểu $A_8$, và $z=\pi = 3$;

(vi) G có kiểu $E_8, H$ có kiểu $A_2\times E_6$, và $z=\pi = 3$;

(vii) G có kiểu $E_8, H$ có kiểu $A_4\times A_4$, và $z=\pi = 5$.

(Sử dụng loc. cit. và các bảng của Chương VI; để tính $\pi$, nhận xét rằng nếu $f$ và $f'$ lần lượt ký hiệu các chỉ số liên thông của G và H, thì $z\pi f=f'.$) c) Trong mỗi trường hợp kể trên, xác định nhóm H.