Exercice 9, § 4

Soit $H$ un sous-groupe fermé connexe de $G$, de rang maximum, distinct de $G$ et maximal pour ces propriétés. Notons $Z$ le groupe quotient $C(H)/C(G)$. a) On a $\dim Z \leqslant 1$; si $\dim Z = 0$, alors $Z$ est d’ordre 2, 3 ou 5 (se ramener au cas où $G$ est presque simple, de centre trivial ; appliquer VI, § 4, exerc. 4). b) On suppose $G$ presque simple et $Z$ d’ordre 3 ou 5; on pose $z = \mathrm{Card}(Z)$ et $\pi = \mathrm{Card}(\pi_1(H))/\mathrm{Card}(\pi_1(G))$. Montrer qu’on est dans l’un des sept cas suivants : (i) $G$ est de type $G_2$, $H$ de type $A_2$, on a $z = 3, \pi = 1$; (ii) $G$ est de type $F_4$, $H$ de type $A_2 \times A_2$, on a $z = \pi = 3$; (iii) $G$ est de type $E_6$, $H$ de type $A_2 \times A_2 \times A_2$, on a $z = \pi = 3$; (iv) $G$ est de type $E_7$, $H$ de type $A_2 \times A_5$, on a $z = \pi = 3$; (v) $G$ est de type $E_8$, $H$ de type $A_8$, on a $z = \pi = 3$; (vi) $G$ est de type $E_8$, $H$ de type $A_2 \times E_6$, on a $z = \pi = 3$; (vii) $G$ est de type $E_8$, $H$ de type $A_4 \times A_4$, on a $z = \pi = 5$. (Utiliser loc. cit. et les planches de VI ; pour calculer $\pi$, remarquer que si $f$ et $f'$ désignent les indices de connexions de $G$ et $H$ respectivement, on a $z \pi f = f'$.) c) Dans chacun des cas précédents, déterminer le groupe $H$.