Bài tập 1, § 5

Giả sử rằng G liên thông đơn liên; các ô Alcove của G là các tập con của G có dạng exp(A), trong đó A là một ô Alcove của một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng các ô Alcove của G tạo thành một phân hoạch của $G_r$.

b) Mỗi ô Alcove của G được chứa trong một xuyến cực đại duy nhất.

c) Chứng minh rằng các ô Alcove của G được chứa trong T tạo thành một phân hoạch của $T_r$, và tập hợp các ô Alcove như vậy là một không gian thuần nhất chính dưới tác dụng của W.

d) Mỗi lớp liên hợp của các phần tử chính quy của G có một điểm duy nhất trong mỗi ô Alcove.

e) Cho E là một ô Alcove của G. Chứng minh rằng E là một không gian co rút được; nếu $\mathfrak{g}$ là đơn, thì E là đồng phôi với một đơn hình mở trong một không gian Euclid.