Exercice 1, § 5

On suppose $G$ simplement connexe ; on appelle alcôves de $G$ les parties de $G$ de la forme $\exp(A)$, où $A$ est une alcôve d’une sous-algèbre de Cartan de $g$. a) Montrer que les alcôves de $G$ forment une partition de $G_r$. b) Toute alcôve de $G$ est contenue dans un unique tore maximal. c) Montrer que les alcôves de $G$ contenues dans $T$ forment une partition de $T_r$, et que l’ensemble de ces alcôves est un ensemble principal homogène sous $W$. d) Toute classe de conjugaison d’éléments réguliers de $G$ a un point et un seul dans chaque alcôve. e) Soit $E$ une alcôve de $G$. Montrer que $E$ est un espace contractile ; si $g$ est simple, $E$ est homéomorphe à un simplexe ouvert d’un espace euclidien.