Bài tập 10, § 5

Cho R là một hệ nghiệm và $p$ là một số nguyên tố. Hãy chỉ ra rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) $p$ là một số nguyên tố xoắn của một thành phần bất khả quy của R (Bài tập $9b$)$)$; (ii) tồn tại một tập con đóng đối xứng $R_1$ của R, khác R và cực đại đối với các tính chất đó, sao cho $(Q(R^{\vee}) : Q(R^{\vee}_1)) =p(Q(R^{\vee})$ ký hiệu $\mathbf{Z}$-môđun sinh bởi các nghiệm nghịch đảo của R và $Q(R^{\vee}_1)$ là môđun con sinh bởi các $\alpha^{\vee}$ với $\alpha \in R_1)$;

(iii) tồn tại một tập con đóng đối xứng $R_1$ của R sao cho môđun con xoắn-$p$ của $Q(R^{\vee})/Q(R^{\vee}_1)$ khác không.

(Để chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (ii), dùng Bài tập 4 của Chương VI, §4; để chứng minh rằng (iii) $=\Rightarrow$ (i), dùng Bài tập $9d$)$.)$

Trong trường hợp này, $p$ được gọi là một số nguyên tố xoắn của R.