Exercice 10, § 5

Soient $R$ un système de racines et $p$ un nombre premier. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $p$ est un nombre premier de torsion pour un composant irréductible de $R$ (exerc. 9, b)); (ii) il existe une partie close et symétrique $R_1$ de $R$, distincte de $R$ et maximale pour ces propriétés, telle que $(Q(R^\vee): Q(R_1^\vee)) = p$ (on note $Q(R^\vee)$ le $\mathbf{Z}$-module engendré par les racines inverses de $R$ et $Q(R_1^\vee)$ le sous-module engendré par les $\alpha^\vee$ pour $\alpha \in R_1$); (iii) il existe une partie close et symétrique $R_1$ de $R$ telle que le sous-module de $p$-torsion de $Q(R^\vee)/Q(R_1^\vee)$ soit non nul. (Pour prouver (i) $\Rightarrow$ (ii), utiliser l’exerc. 4 de VI, § 4; pour prouver (iii) $\Rightarrow$ (i), utiliser l’exerc. 9, d).) On dit alors que $p$ est un nombre premier de torsion de $R$.