Bài tập 12, § 5

Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $p$ không phải là một số nguyên tố xoắn của G;

(ii) với mọi nhóm con F của G đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$ (với $n\in \mathbf{N}$), đối tâm hóa của F trong G là liên thông;

(ii$'$) với mọi nhóm con F của G đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^2$, đối tâm hóa của F trong G là liên thông;

(iii) mọi nhóm con của G đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$ với một số nguyên $n$ nào đó đều được chứa trong một xuyến cực đại;

(iii$'$) mọi nhóm con của G đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^3$ đều được chứa trong một xuyến cực đại.

(Để chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (ii), dùng Bài tập $11e$); để chứng minh rằng (iii) $=\Rightarrow$ (i), dùng Bài tập $11f)$ và Bài tập 7.)