Exercice 12, § 5

Soit $p$ un nombre premier. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $p$ n’est pas un nombre premier de torsion de G ; (ii) pour tout sous-groupe F de G isomorphe à $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$ (pour $n \in \mathbf{N}$), le centralisateur de F dans G est connexe ; (ii’) pour tout sous-groupe F de G isomorphe à $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^2$, le centralisateur de F dans G est connexe ; (iii) tout sous-groupe de G isomorphe à $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$ pour un entier $n$ est contenu dans un tore maximal ; (iii’) tout sous-groupe de G isomorphe à $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^3$ est contenu dans un tore maximal. (Pour prouver (i) $\Rightarrow$ (ii), utiliser l’exerc. 11, e) ; pour prouver (iii) $\Rightarrow$ (i), utiliser l’exerc. 11, f) et l’exerc. 7.)