Bài tập 3, § 5

Cho $f: \widetilde{G}\rightarrow G$ là một phủ phổ quát của G và $\pi$ là hạt nhân của $f$ (đẳng cấu với $\pi_1(G)$); đặt C = C(G) và $\widetilde{C} = C( \widetilde{G})$. Cho $\sigma$ là một tự đẳng cấu của $G, \widetilde{\sigma}$ là tự đẳng cấu của $\widetilde{G}$ cảm sinh bởi $\sigma$. Ký hiệu $G_{\sigma},C_{\sigma},\widetilde{G}_{\sigma},\widetilde{C}_{\sigma}$ là tập hợp các điểm của $G,C,\widetilde{G},\widetilde{C}$ cố định bởi $\sigma , \sigma ,\widetilde{\sigma ,}\widetilde{\sigma}$, tương ứng.

a) Chứng minh rằng thành phần đơn vị $(G_{\sigma})_0$ của $G_{\sigma}$ là $f( \widetilde{G}_{\sigma})$.

b) Ký hiệu $s$ là tự đồng cấu của $\mathbf{Z}$-môđun $\pi$ cảm sinh bởi $\widetilde{\sigma}$. Chứng minh rằng nhóm thương $G_{\sigma}/(G_{\sigma})_0$ đẳng cấu với một nhóm con của Coker(1 $-s$), và đặc biệt là giao hoán. Nếu $1-s$ là toàn ánh, thì $G_{\sigma}$ là liên thông.

c) Cho $n\in \mathbf{N}$ sao cho $s^n=$ Id$_{\pi}$. Chứng minh rằng nhóm $G_{\sigma}/(G_{\sigma})_0$ có thể được đồng nhất với một nhóm con của nhóm thương Ker(1 $+s+\cdots +s^{n-1}$)$/$Im(1 $-s$); suy ra rằng nó bị triệt tiêu bởi $n$. Nếu $n$ nguyên tố cùng nhau với cấp của nhóm con xoắn của $\pi$, thì $G_{\sigma}$ là liên thông.

d) Suy ra lại các kết quả của b) và c) bằng cách sử dụng Exerc. 23 của Algèbre, Chap. X, p. 194.

e) Chứng minh rằng $G_{\sigma}$ là liên thông trong mỗi trường hợp sau:

(i) G là nửa đơn kiểu $A_{2n}(n\geq 1)$ và $\sigma$ không phải là nội;

(ii) G là nửa đơn kiểu $E_6$ và $\sigma$ không phải là nội;

(iii) G là nửa đơn kiểu $D_4$ và $\sigma$ là một triality (nghĩa là, có cấp 3 modulo Int(G)).

f) Định nghĩa một đẳng cấu từ $C_{\sigma}/(C_{\sigma}\cap (G_{\sigma})_0)$ đến $((1-\widetilde{\sigma}) \widetilde{C}\cap \pi )/(1-\widetilde{\sigma})\pi$. Suy ra rằng nếu $1-s$ không toàn ánh và $\pi \subset (1-\widetilde{\sigma})C$, thì $C_{\sigma}$ không được chứa trong $(G_{\sigma})_0$. Với $G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ và $\sigma$ không nội, ta có $-I_{2n}\notin(G_{\sigma})_0$ và $G_{\sigma}$ không liên thông.