Exercice 3, § 5

Soient $f : \tilde{G} \to G$ le revêtement universel de $G$ et $\pi$ le noyau de $f$ (isomorphe à $\pi_1(G)$); on pose $C = C(G)$ et $\tilde{C} = C(\tilde{G})$. Soient $\sigma$ un automorphisme de $G$, $\tilde{\sigma}$ l’automorphisme de $\tilde{G}$ déduit de $\sigma$. On note $G_\sigma, C_\sigma, \tilde{G}_\sigma, \tilde{C}_\sigma$ l’ensemble des points de $G, C, \tilde{G}, \tilde{C}$ fixés respectivement par $\sigma, \sigma, \tilde{\sigma}, \tilde{\sigma}$.

a) Montrer que la composante neutre $(G_\sigma)_0$ de $G_\sigma$ est $f(\tilde{G}_\sigma)$. b) On note s l’endomorphisme du $\mathbf{Z}$-module $\pi$ induit par $\tilde{\sigma}$. Montrer que le groupe quotient $G_\sigma/(G_\sigma)_0$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathrm{Coker}(1 - s)$, et en particulier est commutatif. Si $1 - s$ est surjectif, $G_\sigma$ est connexe. c) Soit $n \in \mathbf{N}$ tel que $s^n = \mathrm{Id}_n$. Montrer que le groupe $G_\sigma/(G_\sigma)_0$ s’identifie à un sous-groupe du quotient $\mathrm{Ker}(1 + s + \cdots + s^{n-1})/\mathrm{Im}(1 - s)$; en déduire qu’il est annulé par $n$. Si $n$ est premier à l’ordre du sous-groupe de torsion de $\pi$, alors $G_\sigma$ est connexe. d) Retrouver les résultats de b) et c) en utilisant l’exerc. 23 de A, X, p. 194. e) Montrer que $G_\sigma$ est connexe dans chacun des cas suivants : (i) G est semi-simple de type $A_{2n}$ ($n \geq 1$) et $\sigma$ n’est pas intérieur. (ii) G est semi-simple de type $E_6$ et $\sigma$ n’est pas intérieur. (iii) G est semi-simple de type $D_4$ et $\sigma$ est trialitaire (c’est-à-dire d’ordre 3 modulo $\mathrm{Int}(G)$). f) Définir un isomorphisme de $C_\sigma/(C_\sigma \cap (G_\sigma)_0)$ sur $((1 - \tilde{\sigma}) \tilde{C} \cap \pi)/(1 - \tilde{\sigma}) \pi$. En déduire que si $1 - s$ n’est pas surjectif et $\pi \subset (1 - \tilde{\sigma}) C$, alors $C_\sigma$ n’est pas contenu dans $(G_\sigma)_0$. Pour $G = \mathrm{SO}(2n, \mathbf{R})$ et $\sigma$ non intérieur, on a $-I_{2n} \notin (G_\sigma)_0$ et $G_\sigma$ n’est pas connexe.