Bài tập 7, § 5

Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $p$ không chia hết cấp của nhóm con xoắn của $\pi_1(G)$;

(ii) với mọi phần tử $g$ của G có cấp $p$, nhóm giao hoán của $g$ trong G là liên thông; (iii) mọi nhóm con của G đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^2$ đều được chứa trong một xuyến cực đại.

(Để chứng minh (i) $=\Rightarrow$ (ii), sử dụng Bài tập $3c$); để chứng minh (iii) $=\Rightarrow$ (i), sử dụng Bài tập 6.)