Exercice 7, § 5

Soit $p$ un nombre premier. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $p$ ne divise pas l’ordre du sous-groupe de torsion de $\pi_1(G)$; (ii) pour tout élément $g$ de $G$ d’ordre $p$, le centralisateur de $g$ dans $G$ est connexe; (iii) tout sous-groupe de $G$ isomorphe à $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^2$ est contenu dans un tore maximal. (Pour prouver (i) $\Rightarrow$ (ii), utiliser l’exerc. 3, c); pour prouver (iii) $\Rightarrow$ (i), utiliser l’exerc. 6.)