Bài tập 9, § 5

Cho R là một hệ nghiệm bất khả quy, $R^{\vee}$ là hệ ngược, B là một cơ sở của R và $\alpha$ là nghiệm cao nhất của R (đối với B). Đặt

$\alpha =\sum_{\beta\in B}n_{\beta}\beta$ and $\alpha^{\vee}=\sum_{\beta\in B}n^{\vee}_{\beta}\beta^{\vee}$;

và đặt $\nu (R) =$ sup$_{\beta\in B}n^{\vee}_{\beta}$. a) Chứng minh rằng khoảng $1, \nu (R)$ trong $\mathbf{N}$ là hợp của 1 và các $n^{\vee}_{\beta}$ với $\beta \in B$ (đặt $\alpha_0=\alpha$; lấy $(\alpha_1, . . . , \alpha_q)$ là một dãy các phần tử phân biệt của B sao cho $\alpha_i$ không trực giao với $\alpha_{i-1}$ với $i= 1, . . . , q$, sao cho $n^{\vee}_{\alpha}=\nu (R)$ và sao cho $q$ là cực đại với các tính chất ấy; chứng minh rằng $n^{\vee}_{\alpha_i}=^{^q}i+ 1$ với $i= 1, . . . , q$).

b) Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng ba tính chất sau là tương đương:

(i) $p\leq \nu (R)$;

(ii) tồn tại $\beta \in B$ sao cho $p=n^{\vee}_{\beta}$;

(iii) tồn tại $\beta \in B$ sao cho $p$ chia hết $n^{\vee}_{\beta}$.

Trong trường hợp này, $p$ được gọi là một số nguyên tố xoắn của R.

c) Với mỗi kiểu hệ nghiệm bất khả quy, hãy cho giá trị của $\nu (R)$ và các số nguyên tố xoắn. Chứng minh rằng tập hợp các $n_{\beta}$ và tập hợp các $n^{\vee}_{\beta}$ trùng nhau trừ kiểu $G_2$.

d) Cho $R'$ là một tập con đóng đối xứng của R, bất khả quy như một hệ nghiệm. Chứng minh rằng $\nu (R')\leq \nu (R)$.