Exercice 9, § 5

Soient $R$ un système de racines irréductible, $R^\vee$ le système inverse, $B$ une base de $R$, $\alpha$ la plus grande racine de $R$ (relativement à $B$). On pose

soit $v(R) = \sup_{\beta \in B} n_\beta^\vee$. a) Montrer que l’intervalle $[1, v(R)]$ de $\mathbf{N}$ est réunion de 1 et des $n_\beta^\vee$ pour $\beta \in B$ (posons $\alpha_0 = \alpha$; soit $(\alpha_1, ..., \alpha_q)$ une suite d’éléments distincts de $B$ tels que $\alpha_i$ ne soit pas orthogonal à $\alpha_{i-1}$ pour $i = 1, ..., q$, qu’on ait $n_{\alpha_q}^\vee = v(R)$ et que $q$ soit maximal pour ces propriétés; prouver que $n_{\alpha_i}^\vee = i + 1$ pour $i = 1, ..., q$. b) Soit $p$ un nombre premier. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $p \leq v(R)$; (ii) il existe $\beta \in B$ tel que $p = n_\beta^\vee$; (iii) il existe $\beta \in B$ tel que $p$ divise $n_\beta^\vee$. On dit alors que $p$ est un nombre premier de torsion de $R$. c) Pour chaque type de système de racines irréductible, donner la valeur de $v(R)$ et des nombres premiers de torsion. Montrer que l’ensemble des $n_\beta$ et celui des $n_\beta^\vee$ coïncident sauf dans le cas du type $G_2$. d) Soit $R'$ une partie close symétrique de $R$, irréductible comme système de racines. Montrer qu’on a $v(R') \leq v(R)$.