Bài tập 10, § 6

Cho H là một nhóm con đóng của G; ký hiệu bởi $dh$ độ đo Haar trên H có khối lượng toàn phần bằng 1. Đặt $\chi (G/H) =\sum_{i\geq 0}(-1)^i$ dim$_{\mathbf{R}}H^i(G/H)$.

a) Chứng minh đẳng thức $\chi (G/H) =\int_H$ det(1$-$Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}h$)$dh$ (sử dụng Algèbre, Chương X, p. 41, Mệnh đề 11 và Bổ đề 1 của Phụ lục II, no. 2).

b) Gọi $\pi_0(H)$ là số các thành phần liên thông của H. Chứng minh rằng

$\chi (G/H) = 0$ nếu $H_0$ không có hạng tối đại

$\chi (G/H) =w(G)/w(H_0)\pi_0(H)$ nếu $H_0$ có hạng tối đại.