Exercice 10, § 6

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Groupes et algèbres de Lie, IX, p. 124

Soit H un sous-groupe fermé de G ; on note $dh$ la mesure de Haar sur H de masse totale 1. On pose $\chi(G/H) = \sum_{i \geqslant 0} (-1)^i \dim_R H^i(G/H)$ .

a) Démontrer l'égalité $\chi(G/H) = \int_H \det(1 - \mathrm{Ad}_{g/h} h)\, dh$ (utiliser A, X, p. 41, prop. 11, ainsi que le lemme 1 de l'Appendice II, n° 2). b) Soit $\pi_0(H)$ le nombre de composantes connexes de H. Montrer qu'on a

\begin{align*} \chi(G/H) &= 0 \quad \text{si } H_0 \text{ n'est pas de rang maximum} \\ \chi(G/H) &= w(G)/w(H_0) \pi_0(H) \quad \text{si } H_0 \text{ est de rang maximum}. \end{align*}

Solution

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Cité par

Rien.

Cite

Algèbre, Chap. X, p. 41, Prop. 11 not in this corpus: A X