Bài tập 11, § 6

Cho $u$ là một tự đẳng cấu của G có cấp hai; ký hiệu K là thành phần liên thông của đơn vị của tập hợp các điểm bất động của $u,\mathfrak{k}$ là đại số Lie của nó, và X là không gian đối xứng $G/K ($§1, Exerc. 8).

a) Chứng minh rằng mọi dạng vi phân G-bất biến $\omega$ trên X đều thỏa mãn $d\omega = 0$ (nhận xét rằng $u$ cảm sinh trên Alt$^p(\mathfrak{g}/\mathfrak{k})$ phép nhân bởi $(-1)^p$).

b) Suy ra rằng có một đẳng cấu từ đại số phân bậc $H(G/K)$ vào đại số con phân bậc của Alt($\mathfrak{g}/\mathfrak{k}$) gồm các phần tử K-bất biến.

c) Đặt $b_i(G/K) =$ dim$_{\mathbf{R}}H^i(G/K)$ với $i\geq 0$; với $k\in K$, ký hiệu Ad$^-k$ là hạn chế của Ad $k$ vào không gian riêng của $L(u)$ ứng với trị riêng $-1$. Gọi $dk$ là độ đo Haar trên K có khối lượng toàn phần bằng 1. Chứng minh các công thức $b_i(G/K) =$ $\int_K$ Tr $\wedge \wedge^i$(Ad$^-k$)$dk$ và $\sum_{i\geq 0}b_i(G/K)X^i=\int_K$ det(1 + X Ad$^-k$)$dk$.

d) Chứng minh rằng nếu, ngoài ra, K có hạng cực đại, thì đại số $H(G/K)$ bằng không trong các bậc lẻ (nhận xét rằng $u=$ Int $k$, với $k\in K$).

e) Tính đại số phân bậc $H(\mathbf{S}_n)$. Suy ra rằng $\mathbf{S}_n$ thừa nhận một cấu trúc nhóm Lie (tương thích với cấu trúc đa tạp của nó) khi và chỉ khi $n$ bằng 1 hoặc 3.