Exercice 11, § 6

Soit u un automorphisme d'ordre deux de G ; on note K la composante neutre de l'ensemble des points fixes de u, $\mathfrak{f}$ son algèbre de Lie, et X l'espace symétrique G/K (§ 1, exerc. 8). a) Montrer que toute forme différentielle G-invariante $\omega$ sur X vérifie $d\omega = 0$ (observer que u induit sur $\mathrm{Alt}^p(g/\mathfrak{f})$ la multiplication par $(-1)^p$). b) En déduire un isomorphisme de l'algèbre graduée H(G/K) sur la sous-algèbre graduée de Alt(g/\mathfrak{f}) formée des éléments K-invariants. c) On pose $b_i(G/K) = \dim_R H^i(G/K)$ pour $i \geqslant 0$; pour $k \in K$, on note $\mathrm{Ad}^- k$ la restriction de Ad k au sous-espace propre de L(u) relatif à la valeur propre — 1. Soit $dk$ la mesure de Haar sur K de masse totale 1. Démontrer les formules $b_i(G/K) = \int_K \mathrm{Tr}\, \Lambda^i(\mathrm{Ad}^- k)\, dk$ et

d) Si de plus K est de rang maximum, prouver que l'algèbre H(G/K) est nulle en degrés impairs (observer qu'on a $u = \mathrm{Int}\, k$, avec $k \in K$). e) Calculer l'algèbre graduée H(S_n). En déduire que S_n admet une structure de groupe de Lie (compatible avec sa structure de variété) si et seulement si n est égal à 1 ou 3.