Bài tập 12, § 6

Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G và $\mathfrak{h}$ là đại số Lie của nó.

$^{12}$Các số nguyên $k_i$ thực ra là các số mũ của $R(G,T)$. Cf. J. LERAY, Sur

l’homologie des groupes de Lie, des espaces homogènes et des espaces fibrés principaux, Colloque de Topologie de Bruxelles (1950), pp. 101-115. a) Cho $\alpha$ là một phần tử của $\mathfrak{h}^*$ bất biến dưới H; hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử $\overline{\alpha}$ của $\mathfrak{g}^*$ bất biến dưới H mà hạn chế của nó lên $\mathfrak{h}$ bằng $\alpha$. Hãy chứng minh rằng phần tử $d\overline{\alpha}\in$ Alt$^2(\mathfrak{g})$ bị triệt tiêu bởi $i(\eta )$ và $\theta (\eta )$ với mọi $\eta \in \mathfrak{h}$, và rằng lớp của nó trong $H^2(G/H)$ không phụ thuộc vào lựa chọn của $\overline{\alpha}$. Điều này xác định một đồng cấu $\varphi : H^1(H)\rightarrow H^2(G/H)$.

b) Từ nay giả sử rằng G là nửa đơn. Chứng minh rằng $\varphi$ là một đẳng cấu. c) Chứng minh rằng H là nửa đơn khi và chỉ khi $H^2(G/H) = 0$.

d) Không giả sử rằng H liên thông, hãy định nghĩa một đẳng cấu $(\mathfrak{h}^*)^H\rightarrow$ $H^2(G/H)$ (áp dụng $b$) cho $H_0)$.