Exercice 12, § 6

Soient H un sous-groupe fermé connexe de G et $\mathfrak{h}$ son algèbre de Lie. a) Soit $\alpha$ un élément de $\mathfrak{h}^*$ invariant par H ; montrer qu'il existe un élément $\overline{\alpha}$ de $g^*$ invariant par H dont la restriction à $\mathfrak{h}$ est égale à $\alpha$. Montrer que l'élément $d\overline{\alpha} \in \mathrm{Alt}^2(g)$ est annulé par $i(\eta)$ et $\theta(\eta)$ pour tout $\eta \in \mathfrak{h}$, et que sa classe dans $H^2(G/H)$ ne dépend pas du choix de $\overline{\alpha}$. On définit ainsi un homomorphisme $\varphi : H^1(H) \to H^2(G/H)$. b) On suppose désormais G semi-simple. Prouver que $\varphi$ est un isomorphisme. c) Démontrer que H est semi-simple si et seulement si $H^2(G/H) = 0$. d) Sans supposer H connexe, définir un isomorphisme $(\mathfrak{h}^*)^H \to H^2(G/H)$ (appliquer b) à $H_0$).