Bài tập 13, § 6

Cho H là một nhóm con đóng của G; đặt $X = G/H$ và $n=$ dim X. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại một 2-dạng $\omega$ trên X sao cho $d\omega = 0$ và sao cho dạng phản xứng $\omega_x$ trên $T_x(X)$ là phân ly với mọi $x\in X$;

(ii) $n$ là chẵn, và tồn tại một phần tử $\omega$ của $H^2(G/H)$ sao cho $\omega^{n/2}\not= 0$; (iii) H là bộ trung tâm hóa của một xuyến trong G;

(iv) H có hạng tối đa, và tồn tại một cấu trúc phức bất biến dưới G trên X;

(v) tồn tại một cấu trúc phức $j$ và một 2-dạng $\omega$ trên X sao cho $d\omega = 0$, $\omega_x(ju, jv) =\omega_x(u, v)$ và $\omega_x(u, ju)>0$ với mọi $x$ trong X và mọi $u, v$ khác không trong $T_x(X) (^*$ nói cách khác, một cấu trúc Kähler trên $X_*)$;

(vi) tồn tại một cấu trúc phức $j$ và một 2-dạng $\omega$ trên X thỏa mãn các điều kiện trong (v) và bất biến dưới $G (^*$ tức là, một cấu trúc Kähler bất biến dưới G trên $X_*)$.

(Để chứng minh rằng (ii) $=\Rightarrow$ (iii), đặt $S = C(H)_0$ và $Z = Z_G(S)$; bằng cách dùng Bài tập 12 $d$), hãy chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $H^2(G/Z)\rightarrow H^2(G/H)$ là toàn ánh, và suy ra rằng Z = H. Tính tương đương của (iii) và (iv) suy ra từ Bài tập 8 của §4. Để chứng minh rằng (iii) $=\Rightarrow$ (vi), hãy xây dựng một dạng Hermit dương phân ly bất biến dưới H trên $\mathfrak{g}/L(H)$ và xét phần ảo của nó; dùng Bài tập $11a).)$