Exercice 13, § 6

Soit H un sous-groupe fermé de G ; on pose $X = G/H$ et $n = \dim X$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une 2-forme $\omega$ sur X telle qu'on ait $d\omega = 0$ et que pour tout $x \in X$, la forme alternée $\omega_x$ sur $T_x(X)$ soit séparante ; (ii) $n$ est pair, et il existe un élément $\omega$ de $H^2(G/H)$ tel que $\omega^{n/2} \neq 0$ ; (iii) H est le centralisateur d'un tore de G ; (iv) H est de rang maximum, et il existe une structure complexe G-invariante sur X ; (v) il existe une structure complexe j et une 2-forme $\omega$ sur X telles qu'on ait $d\omega = 0$ et, quels que soient x dans X et u, v non nuls dans $T_x(X)$, $\omega_x(ju, jv) = \omega_x(u, v)$ et $\omega_x(u, ju) > 0$ (* autrement dit une structure kählerienne sur $X_*$) ;

1 Les entiers $k_i$ sont en fait les exposants de $R(G, T)$. Cf. J. Leray, Sur l'homologie des groupes de Lie, des espaces homogènes et des espaces fibrés principaux, Colloque de Topologie de Bruxelles (1950), p. 101-115.

(vi) il existe une structure complexe $j$ et une 2-forme $\omega$ sur $X$ satisfaisant aux conditions de (v) et invariantes par $G$ (* c'est-à-dire une structure kählerienne $G$-invariante sur $X_*$). (Pour prouver (ii) $\Rightarrow$ (iii), poser $S = C(H)_0$ et $Z = Z_G(S)$; montrer en utilisant l'exerc. 12, d) que l'application canonique $H^2(G/Z) \to H^2(G/H)$ est surjective, et en déduire qu'on a $Z = H$. L'équivalence de (iii) et (iv) résulte de l'exerc. 8 du § 4. Pour prouver (iii) $\Rightarrow$ (vi), construire une forme hermitienne positive séparante $H$-invariante sur $g/L(H)$ et considérer sa partie imaginaire ; utiliser l'exerc. 11, a).)