Bài tập 2, § 6

.

(b) Suy ra đẳng thức $(P|P) =w(R)\prod_{\alpha\in R_+}(\rho |\alpha )$.

(c) Chứng minh rằng $(P|P) = 2^{-N}w(R)\prod_{i=1}^lm_i$!$\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha ) = 2^{-N}\prod_{i=1}^l(m_i$+1)!$\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha )$,

trong đó $m_1, . . . , m_l$ là các số mũ của W(R) (dùng Bài tập 3 của Chương VIII, §9).

$\P 2)$ Cho V là một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều trên $\mathbf{R}$. Trang bị cho không gian $\mathbf{S}(V^*)$ của các đa thức trên V tích vô hướng được định nghĩa trong Không gian vectơ tôpô, Chap. V, §3, no. 3, các công thức (13) và (14) (xem Bài tập 1). Ký hiệu $\gamma$ là độ đo Gauss chính tắc trên V (Tích phân, Chap. IX, §6, nos. 4 to 6); như vậy, nếu $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ là một cơ sở trực chuẩn của $V^*$, ta có $d\gamma (x) =$ $(2\pi )^{-n/2}e^{-(x|x)/2}dx_1. . . dx_n$.

(a) Cho $q$ là phần tử của $\mathbf{S}^2(V)$ xác định tích vô hướng trên $V^*$, và cho $\Delta :\mathbf{S}(V^*)\rightarrow \mathbf{S}(V^*)$ là toán tử được cho bởi việc lấy tích vô hướng với $q($Đại số, Chap. III, §11, no. 9). Chứng minh rằng, với mọi cơ sở trực chuẩn

$(x_i)_{1\leq i\leq n}$ của $V^*$ và mọi đa thức $P\in \mathbf{S}(V^*)$, ta có $\Delta (P) =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2P}{\partial x_i^2}$.

(b) Với $P\in \mathbf{S}(V^*)$, đặt $P^*= P*\gamma$, sao cho $P^*(x) =\int_VP(x-y)d\gamma (y)$ với

$x\in V$. Chứng minh đẳng thức $P^*=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Delta^n(P)}{n!}=e^{\Delta}(P)$.

(Rút gọn về việc chứng minh công thức tương tự cho hàm $x \rightarrow e^{i(x|u)}$, với $u\in V.$)

(c) Chứng minh công thức $\int P^*(ix)Q^*(ix)d\gamma (x) = (P|Q)$ với P và Q thuộc $\mathbf{S}(V^*)$ (đồng nhất với một không gian con của $\mathbf{S}_{\mathbf{C}}((V\otimes \mathbf{C})^*)$).

(d) Nếu P là một đa thức thuần nhất trên V sao cho $\Delta (P) = 0$, thì $\int_VP(x)^2d\gamma (x) = (P|P)$.

(e) Cho W là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của V sinh bởi các phép phản xạ; ký hiệu H là tập hợp các phép phản xạ trong W. Với $h\in H$, cho $e_h\in V$ và $f_h\in V^*$ sao cho $h(x) =x+f_h(x)e_h$. Chứng minh rằng đa thức $P =\prod_{h\in H}f_h$ thỏa mãn $\Delta (P) = 0$ (dùng Chap. V, §5, no. 4, Mệnh đề 5).