Exercice 2, § 6

Soit V un espace hilbertien réel de dimension finie sur R. On munit l’espace $S(V^*)$ des polynômes sur V du produit scalaire défini en EVT, V, p. 30 (cf. exerc. 1). On note $\gamma$ la mesure gaussienne canonique sur V (INT, IX, § 6, nos 4 à 6) ; si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base orthonormale de $V^*$, on a donc $d\gamma(x) = (2\pi)^{-n/2} e^{-(x|x)/2} dx_1 ... dx_n$. a) Soit q l’élément de $S^2(V)$ qui définit le produit scalaire dans $V^*$, et soit $\Delta : S(V^*) \to S(V^*)$ l’opérateur produit intérieur par q (A, III, p. 165). Montrer que pour toute base orthonormale $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $V^*$ et tout polynôme $P \in S(V^*)$, on a $\Delta(P) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 P}{\partial x_i^2}$. b) Pour $P \in S(V^*)$, on pose $P^* = P * \gamma$, de sorte qu’on a $P^*(x) = \int_V P(x - y) d\gamma(y)$ pour $x \in V$. Démontrer l’égalité $P^* = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Delta^n(P)}{n!} = e^{\Delta}(P)$. (Se ramener à prouver la formule analogue pour la fonction $x \mapsto e^{i(x|u)}$, pour $u \in V$.)

c) Démontrer la formule $\int \overline{P^*(ix)} Q^*(ix)\ d\gamma(x) = (P|Q)$ pour $P$ et $Q$ dans $S(V^*)$ (identifié à un sous-espace de $S_c((V \otimes \mathbf{C})^*)$).

d) Si $P$ est un polynôme homogène sur $V$ tel que $\Delta(P) = 0$, on a $\int_V P(x)^2 d\gamma(x) = (P|P)$.

e) Soit $W$ un groupe fini d’automorphismes de $V$, engendré par des réflexions ; notons $H$ l’ensemble des réflexions de $W$. Pour $h \in H$, soient $e_h \in V$ et $f_h \in V^*$ tels que $h(x) = x + f_h(x)\ e_h$. Montrer que le polynôme $P = \prod_{h \in H} f_h$ satisfait à $\Delta(P) = 0$ (utiliser $V$, § 5, n° 4, prop. 5).