Bài tập 9, § 6

Ký hiệu bởi $m: G\times G\rightarrow G$ ánh xạ sao cho $m(g, h) =gh$ với $g, h$ thuộc G. Đồng nhất $H(G\times G)$ với $H(G)^g\otimes H(G)$ (Bài tập $7b$)$)$, sao cho $m^*$ xác định một đồng cấu các đại số $c: H(G)\rightarrow H(G)^g\otimes H(G)$.

a) Chứng minh rằng $(H(G), c)$ là một song đại số trái phân bậc phản giao hoán và phản đối giao hoán (nhận thấy rằng ánh xạ $g \rightarrow g^{-1}$ cảm sinh trên $H^p(G)$ phép nhân với $(-1)^p$). b) Gọi P(G) là không gian con phân bậc của H(G) gồm các phần tử nguyên thủy; suy ra từ Bài tập 8 rằng tồn tại một đẳng cấu các song đại số phân bậc $\wedge \wedge (P(G))\rightarrow H(G)$.

c) Chứng minh rằng dim$_{\mathbf{R}}P(G) =r$ (dùng Bài tập $6b$)$)$.

d) Suy ra rằng đa thức $\sum_{i\geq 0}b_i(G)X^i$ có dạng

trong đó $c$ là chiều của $C(G),l$ là hạng của D(G), và các $k_i$ là những số nguyên $\geq 1$; ta có $k_1+\cdots +k_l=\frac{1}{2}$Card $R(G,T)^{12}$.