Exercice 9, § 6

On note $m : G \times G \to G$ l’application telle que $m(g, h) = gh$ pour $g, h$ dans $G$. On identifie $H(G \times G)$ à $H(G)^g \otimes H(G)$ (exerc. 7, b)), de sorte que $m^*$ définit un homomorphisme d’algèbres $c : H(G) \to H(G)^g \otimes H(G)$. a) Montrer que $(H(G), c)$ est une bigèbre graduée gauche, anticommutative et anticocommutative (observer que l’application $g \mapsto g^{-1}$ induit sur $H^p(G)$ la multiplication par $(-1)^p$. b) Soit $P(G)$ le sous-espace gradué de $H(G)$ formé des éléments primitifs ; déduire de l’exerc. 8 un isomorphisme de bigèbres graduées $\Lambda(P(G)) \to H(G)$. c) Montrer qu’on a $\dim_{\mathbf{R}} P(G) = r$ (utiliser l’exerc. 6, b)). d) En déduire que le polynôme $\sum_{i \geq 0} b_i(G) X^i$ est de la forme $(1 + X)^c \prod_{i=1}^l (1 + X^{2k_i+1})$, où $c$ est la dimension de C(G), l le rang de D(G), et les k_i des entiers $\geqslant 1$; on a $k_1 + \cdots + k_l = \frac{1}{2} \mathrm{Card}\, R(G, T)$^1.