Bài tập 1, § 7

Lấy G là nhóm $\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$, và T là nhóm con gồm các ma trận đường chéo; với $t=$ diag($t_1, . . . , t_n$) thuộc T và $1\leq i\leq n$, đặt $\varepsilon_i(t) =t_i$. Ký hiệu bởi $\sigma$ biểu diễn đồng nhất của G trên $\mathbf{C}^n$.

a) Nhóm X(T) có cơ sở $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n$; chứng minh rằng mọi phần tử của $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ đều có dạng $e^{k(\varepsilon_1+\cdot \cdot \cdot+\varepsilon_n)}P(e^{\varepsilon_1}, . . . , e^{\varepsilon_n})$, trong đó $k$ là một số nguyên tương đối và P là một đa thức đối xứng theo $n$ biến với các hệ số nguyên.

b) Chứng minh rằng các biểu diễn $\wedge \wedge^r\sigma (1\leq r\leq n)$ là bất khả quy.

c) Chứng minh rằng đồng cấu $u:\mathbf{Z}[X_1,X_2, . . . ,X_n][X^{-1}_n]\rightarrow R(G)$ sao cho $u(X_i) = [\wedge \wedge^i\sigma ]$ là một đẳng cấu.