Exercice 1, § 7

On prend pour $G$ le groupe $U(n, \mathbf{C})$, et pour $T$ le sous-groupe formé des matrices diagonales ; pour $t = \operatorname{diag}(t_1, ..., t_n)$ dans $T$ et $1 \leq i \leq n$, on pose $\varepsilon_i(t) = t_i$. On note $\sigma$ la représentation identique de $G$ dans $\mathbf{C}^n$. a) Le groupe $X(T)$ admet pour base $\varepsilon_1, ..., \varepsilon_n$ ; montrer que tout élément de $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ est de la forme $e^{k(\varepsilon_1 + ... + \varepsilon_n)} P(e^{\varepsilon_1}, ..., e^{\varepsilon_n})$, où $k$ est un entier relatif et $P$ un polynôme symétrique en $n$ variables à coefficients entiers. b) Montrer que les représentations $\Lambda^r \sigma$ ($1 \leq r \leq n$) sont irréductibles. c) Montrer que l'homomorphisme $u : \mathbf{Z}[X_1, X_2, ..., X_n][X_n^{-1}] \to R(G)$ tel que $u(X_i) = [\Lambda^i \sigma]$ est un isomorphisme.