Bài tập 4, § 7

Cho E là một không gian vectơ phức, và cho $\mathbf{T}^p_q(E)$ là không gian các tensor kiểu $(p, q)$ trên E (Đại số, Chương III, §5, no. 6). Ký hiệu $H^p_q(E)$ là không gian con của $\mathbf{T}^p_q(E)$ gồm các tensor đối xứng (nghĩa là, những tensor thuộc ảnh của $\mathbf{T}\mathbf{S}^p(E)\otimes \mathbf{T}\mathbf{S}^q(E^*)$ trong $T^p_q(E)$ và bị triệt tiêu bởi các phép co $c^i_j$ với $i\in 1, p$ và $j\in p+ 1, p+q$ (loc. cit.).

a) Chứng minh rằng $H^p_q(\mathbf{C}^n)$ ổn định dưới $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$, và do đó dưới $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$; ký hiệu biểu diễn này của $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ bởi $\tau_q^p$. b) Chứng minh rằng $\tau_q^p$ là một biểu diễn bất khả quy có trọng số cao nhất (với các ký hiệu của Bài tập 1 của §4) là $p\varpi_1+q\varpi_{n-1}$.

c) Chứng minh rằng mọi biểu diễn bất khả quy của $\mathbf{S}\mathbf{U}(3,\mathbf{C})$ đều đẳng cấu với một trong các biểu diễn $\tau_q^p$.

d) Cho $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{C}^n$, $(y_j)_{1\leq j\leq n}$ là cơ sở đối ngẫu. Chứng minh rằng $H^p_q(\mathbf{C}^n)$ có thể được đồng nhất với không gian các đa thức $P\in \mathbf{C}[x_1, . . . , x_n, y_1, . . . , y_n]$, thuần nhất bậc $p$ theo các $x_i$ và bậc

$q$ theo các $y_i$, và thỏa mãn $\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2P}{\partial x_i\partial y_i}= 0$.