Exercice 4, § 7

Soit E un espace vectoriel complexe, et soit $T_q^p(E)$ l’espace des tenseurs de type $(p, q)$ sur E (A, III, p. 63). On note $H_q^p(E)$ le sous-espace de $T_q^p(E)$ formé des tenseurs symétriques (c’est-à-dire appartenant à l’image dans $T_q^p(E)$ de $TS^p(E) \otimes TS^q(E^*)$) et annulés par les contractions $c_j^i$ pour $i \in [1, p]$ et $j \in [p+1, p+q]$ (A, III, p. 64). a) Montrer que $H_q^p(\mathbf{C}^n)$ est stable par $\mathrm{GL}(n, \mathbf{C})$, et par conséquent par $\mathrm{SU}(n, \mathbf{C})$; on note $\tau_q^p$ la représentation de $\mathrm{SU}(n, \mathbf{C})$ ainsi obtenue. b) Montrer que $\tau_q^p$ est une représentation irréductible, dont le plus grand poids (avec les notations de l’exerc. 1 du § 4) est $p \varpi_1 + q \varpi_{n-1}$. c) Toute représentation irréductible de $\mathrm{SU}(3, \mathbf{C})$ est isomorphe à une représentation $\tau_q^p$. d) Soient $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $\mathbf{C}^n$, $(y_j)_{1 \leq j \leq n}$ la base duale. Montrer que $H_q^p(\mathbf{C}^n)$ s’identifie à l’espace des polynômes $P \in \mathbf{C}[x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n]$, homogènes de degré $p$ en les $x_i$ et de degré $q$ en les $y_i$, tels que $\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 P}{\partial x_i \partial y_i} = 0$.