Bài tập 1, § 8

Cho $G =\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$, và gọi $\sigma$ là biểu diễn đồng nhất của G trên $\mathbf{C}^2$. a) Các biểu diễn bất khả quy của G là các biểu diễn $\tau^n=\mathbf{S}^n\sigma$ với $n\geq 0$.

b) Gọi $e_1, e_2$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{C}^2$; hãy chứng minh rằng các hệ số của $\tau^n$ trong cơ sở $(e^i_1e^{n-i}_2)_{0\leq i\leq n}$ là các hàm $\tau_{ij}^n$ sao cho, với $g=(-\alpha \beta )\in G$,

ta có $\tau_{ij}^n(g) =\frac{(-1)^i}{j!}\alpha^{i+j-n}\beta^{j-i}P^n_{ij}(|\alpha |^2)$, với $P^n_{ij}(t) =\frac{d^j}{dt^j}[t^{n-i}(1-t)^i]$

(“các đa thức Jacobi”).

c) Suy ra từ b) rằng các hàm $(n+ 1)^{1/2}(\frac{j!(n-j)!}{i!(n-i)!})^{1/2}\tau_{ij}^n$, với $i, j, n$ là các số nguyên thỏa mãn $0\leq i\leq n, 0\leq j\leq n$, lập thành một cơ sở trực chuẩn của $L^2(G)$.

d) Với $g=(-\alpha \beta )\in G$, đặt $\alpha =t^{1/2}e^{i(\varphi-\psi)/2},\beta = (1-t)^{1/2}e^{i(\varphi+\psi)/2}$,

với $0\leq t\leq 1, 0\leq \varphi <2\pi ,-2\pi \leq \psi <2\pi$. Hãy chứng minh rằng độ đo Haar chuẩn hóa $dg$ trên G bằng $(8\pi^2)^{-1}dtd\varphi d\psi$.

e) Gọi $a, b$ trong $\frac{1}{2}\mathbf{Z}$ sao cho $a-b\in \mathbf{Z}$. Suy ra từ d) rằng các đa thức $P^n_{n/2-a,n/2-b}(t)$, với $n$ là một số nguyên cùng tính chẵn lẻ với $2a,n\geq$ max(2$a,2b$), lập thành một cơ sở trực giao của $L^2([0,1])$ đối với độ đo $t^{-a-b}(1-t)^{a-b}dt$.