Exercice 1, § 8

Soit $G = \mathrm{SU}(2, \mathbf{C})$, et soit $\sigma$ la représentation identique de $G$ dans $\mathbf{C}^2$. a) Les représentations irréductibles de $G$ sont les représentations $\tau^n = S^n \sigma$ pour $n \geq 0$. b) Soit $e_1, e_2$ la base canonique de $\mathbf{C}^2$; montrer que les coefficients de $\tau^n$ dans la base $(e_1^{i} e_2^{n-i})_{0 \leq i \leq n}$ sont les fonctions $\tau^n_{ij}$ telles que, pour $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \in G$, on ait

c) Déduire de b) que les fonctions $(n+1)^{1/2} \left( \frac{j!(n-j)!}{i!(n-i)!} \right)^{1/2} \tau^n_{ij}$ pour $i, j, n$ entiers avec $0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq n$, forment une base orthonormale de $L^2(G)$. d) Pour $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \in G$, on pose $\alpha = t^{1/2} e^{-i(\varphi+\psi)/2}, \ \beta = (1-t)^{1/2} e^{i(\varphi+\psi)/2}$, avec $0 \leq t \leq 1, 0 \leq \varphi < 2\pi, -2\pi \leq \psi < 2\pi$. Montrer que la mesure de Haar normalisée $dg$ sur $G$ est alors égale à $(8\pi^2)^{-1} dtd\varphi d\psi$. e) Soient $a, b$ dans $\frac{1}{2}\mathbf{Z}$, tels que $a-b \in \mathbf{Z}$. Déduire de d) que les polynômes $P^n_{n/2-a,n/2-b}(t)$, pour $n$ entier de même parité que $2a, n \geq \max(2a, 2b)$, forment une base orthogonale de $L^2([0,1])$ pour la mesure $t^{-a-b}(1-t)^{a-b} dt$.