Bài tập 5, § 8

a) Cho V là một không gian vectơ thực, $f$ là một dạng tuyến tính khác không trên V, H là hạt nhân của $f$. Khi đó, một hàm $\varphi$ trên V thuộc lớp $C^{\infty}$ triệt tiêu trên H nếu và chỉ nếu nó có thể được viết dưới dạng $f \varphi '$, trong đó $\varphi '$ là một hàm thuộc lớp $C^{\infty}$ trên V.

b) Cho V là một không gian vectơ thực, $(f_i)_{i\in I}$ là một họ hữu hạn các dạng tuyến tính khác không sao cho các $H_i=$ Ker $f_i$ phân biệt từng đôi một. Khi đó, một hàm $\varphi$ trên V thuộc lớp $C\prod^{\infty}$ triệt tiêu trên hợp của các $H_i$ nếu và chỉ nếu nó có thể được viết dưới dạng $\psi_{i\in I}f_i$, trong đó $\psi$ là một hàm trên V thuộc lớp $C^{\infty}$.

c) Cho T là một xuyến, $(\alpha_i)_{i\in I}$ là một họ hữu hạn các đặc trưng của T khác 1, sao cho các $K_i=$ Ker $\alpha_i$ phân biệt từng đôi một. Khi đó, một hàm $\varphi$ trên T thuộc lớp $C\prod^{\infty}$ triệt tiêu trên hợp của các $K_i$ nếu và chỉ nếu nó có thể được viết dưới dạng $\psi ._{i\in I}(\alpha_i-1)$, trong đó $\psi$ là một hàm thuộc lớp $C^{\infty}$ trên T (lập luận địa phương trên T

và dùng $b))$.

d) Với các ký hiệu của no. 4, chứng minh rằng ánh xạ $b_{\infty}:\mathscr{C}^{\infty}(T)^W\rightarrow \mathscr{C}^{\infty}(T)^{-W}$ là song ánh.