Exercice 5, § 8

a) Soient V un espace vectoriel réel, $f$ une forme linéaire non nulle sur V, H le noyau de $f$. Pour qu'une fonction $\varphi$ de classe $C^\infty$ sur V s'annule sur H, il faut et il suffit qu'elle s'écrive $f \varphi'$, où $\varphi'$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur V. b) Soient V un espace vectoriel réel, $(f_i)_{i \in I}$ une famille finie de formes linéaires non nulles, telle que les $H_i = \mathrm{Ker}\, f_i$ soient deux à deux distincts. Pour qu'une fonction $\varphi$ de classe $C^\infty$ sur V s'annule sur la réunion des $H_i$, il faut et il suffit qu'elle s'écrive $\psi \prod_{i \in I} f_i$, où $\psi$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur V. c) Soient T un tore, $(\alpha_i)_{i \in I}$ une famille finie de caractères de T distincts de 1, telle que les $K_i = \mathrm{Ker}\, \alpha_i$ soient deux à deux distincts. Pour qu'une fonction $\varphi$ de classe $C^\infty$ sur T s'annule sur la réunion des $K_i$, il faut et il suffit qu'elle s'écrive $\psi \prod_{i \in I} (\alpha_i - 1)$, où $\psi$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur T (raisonner localement sur T et se ramener à b)). d) Avec les notations du no 4, démontrer que l'application $b_\infty : C^\infty(T)^W \to C^\infty(T)^{-W}$ est bijective.