Bài tập 11, § 9

Với mọi số nguyên $n\geq 1$, định nghĩa một ánh xạ $\varphi_n$ từ $(0,\frac{1}{2}(\times \mathbf{T}^2$ vào $\mathbf{R}^3$ bằng cách đặt $\varphi_n(r;\alpha , \beta ) = ((n+r$ cos $2\pi \beta )$ cos $2\pi \alpha ,(n+r$ cos $2\pi \beta )$ sin $2\pi \alpha , r$ sin $2\pi \beta )$. Đặt

a) Chứng minh rằng hạn chế của $\varphi_n$ trên $0,\frac{1}{2}\times \mathbf{T}^2$ là một đẳng cấu (thuộc lớp $C^{\omega}$) từ $0,\frac{1}{2}\times \mathbf{T}^2$ lên $T_n$ -- $S_n$.

b) Gọi $f_n: T_n\rightarrow T_n$ là ánh xạ trùng với đồng nhất trên $S_n$ và sao cho

với $r >0$. Chứng minh rằng $f_n$ cảm sinh một tự đẳng cấu của $T_n$ -- $S_n$.

c) Chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc đa tạp giải tích thực trên $\mathbf{R}^3$ sao cho các ánh xạ $f_n: T_n\rightarrow \mathbf{R}^3$ và đơn ánh chính tắc $\mathbf{R}^3$ -- $\bigcup_nS_n\rightarrow \mathbf{R}^3$ đều giải tích. Ký hiệu bởi X đa tạp giải tích thực được định nghĩa theo cách ấy.

d) Với $\vartheta \in \mathbf{T}$, ký hiệu bởi $R_{\vartheta}$ phép quay

$(x, y, z) \rightarrow (x$ cos $2\pi \vartheta -y$ sin $2\pi \vartheta , x$ sin $2\pi \vartheta +y$ cos $2\pi \vartheta , z)$

của $\mathbf{R}^3$. Chứng minh rằng việc đặt, với $\theta \in \mathbf{T}$ và $u\in X$,

$\vartheta .u= R_{\vartheta}(u)$ nếu $u\in X$ -- $\bigcup_nS_n$;

$\vartheta .u= R_{n\vartheta}(u)$ nếu $u\in S_n$ với một số nguyên $n\geq 1$

xác định một luật phép toán giải tích của $\mathbf{T}$ trên X.

e) Chứng minh rằng tập hợp các kiểu quỹ đạo của X (đối với phép toán của $\mathbf{T}$ được định nghĩa trong $d$)$)$ là vô hạn. f) Chứng minh rằng không có một phép nhúng nào, tương thích với phép toán của $\mathbf{T}$, của X vào một không gian vectơ hữu hạn chiều mà trên đó $\mathbf{T}$ tác động tuyến tính (dùng Bài tập 9).