Exercice 11, § 9

Pour $n$ entier $\geqslant 1$, on définit une application $\varphi_n$ de $[0, \frac{1}{2}] \times \mathbf{T}^2$ dans $\mathbf{R}^3$ en posant $\varphi_n(r, \alpha, \beta) = ((n + r \cos 2\pi \beta) \cos 2\pi \alpha, (n + r \cos 2\pi \beta) \sin 2\pi \alpha, r \sin 2\pi \beta)$. On pose

a) Montrer que la restriction de $\varphi_n$ à $[0, \frac{1}{2}] \times \mathbf{T}^2$ est un isomorphisme (de classe $C^\infty$) de $]0, \frac{1}{2}[ \times \mathbf{T}^2$ sur $T_n - S_n$. b) Soit $f_n : T_n \to T_n$ l’application qui coïncide avec l’identité sur $S_n$, et telle que pour $r > 0$. Montrer que $f_n$ induit un automorphisme de $T_n - S_n$. c) Montrer qu’il existe sur l’ensemble $\mathbf{R}^3$ une structure de variété analytique réelle telle que les applications $f_n : T_n \to \mathbf{R}^3$ et l’injection canonique $\mathbf{R}^3 - \bigcup_n S_n \to \mathbf{R}^3$ soient analytiques. On note X la variété analytique réelle ainsi définie. d) Pour $\vartheta \in \mathbf{T}$, on note $R_\vartheta$ la rotation de $\mathbf{R}^3$. Démontrer qu’on définit une loi d’opération analytique de $\mathbf{T}$ dans X en posant, pour $\vartheta \in \mathbf{T}$ et $u \in X$ : e) Montrer que l’ensemble des types d’orbite de X (pour l’action de $\mathbf{T}$ définie en d)) est infini. f) Montrer qu’il n’existe pas de plongement compatible avec l’action de $\mathbf{T}$ de X dans un espace vectoriel de dimension finie sur lequel $\mathbf{T}$ opère linéairement (utiliser l’exerc. 9).