Bài tập 15, § 9

Cho G là một nhóm tôpô compact địa phương tác động đúng trên một không gian tôpô E; cho $\rho$ là một biểu diễn của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều V. Ký hiệu $dg$ là một độ đo Haar phải trên G.

a) Cho $\mathscr{P}$ là tập hợp các tập con A của E có tính chất sau: tồn tại một phủ mở $(U_{\alpha})_{\alpha\in I}$ của E sao cho, với mọi $\alpha \in I$, tập hợp các $g\in G$ sao cho $gA\cap U_{\alpha}\not=\emptyset$ là tương đối compact trong G.

Chứng minh rằng, với mọi hàm liên tục $f: E\rightarrow V$ có giá thuộc $\mathscr{P}$, ánh xạ $x \rightarrow \int_G\rho (g)^{-1}f(gx)dg$ là một ánh xạ liên tục từ E vào V, tương thích với các phép toán của G.

b) Thực hiện một trong các giả thiết sau:

(i) không gian $E/G$ là chính quy;

(ii) tồn tại một tập con mở U của E và một tập con compact K của G sao cho E = GU và $gU\cap U =\emptyset$ với $g \notin K$.

Chứng minh rằng mọi điểm $x$ trong E có một lân cận thuộc $\mathscr{P}$ (trong trường hợp (i), lấy $A = V\cap W$, trong đó V là một lân cận của $x$ sao cho $gV\cap V =\emptyset$ với g nằm ngoài một tập con compact của G, và W là một lân cận đóng của $Gx$ ổn định dưới G và được chứa trong GV).

Mọi điểm trong E có một lân cận mở ổn định dưới G và thỏa mãn (ii). c) Giả sử thêm rằng E là hoàn toàn chính quy. Cho $x\in E, v\in V$ sao cho nhóm ổn định của x được chứa trong nhóm ổn định của v. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $F : E\rightarrow V$, tương thích với các phép toán của G, sao cho $F(x) =v$. (Cho $\mathscr{F}$ là không gian các hàm số liên tục trên E có giá thuộc $\mathscr{P}$, và cho $u:\mathscr{F}\rightarrow V$ là ánh xạ $\alpha \rightarrow \int_G\alpha (gx)\rho (g^{-1}).v dg$. Cho C là một lân cận lồi của $v$ trong V; xây dựng một lân cận A của $x$ thuộc $\mathscr{P}$ sao cho $gx\in A$ kéo theo rằng $\rho (g^{-1}).v\in C$, và một hàm $\alpha$ trên E, có giá trong A, sao cho $\alpha (x)\not= 0$ và $\int_G\alpha (gx)dg= 1$. Chứng minh rằng $u(\alpha )$ thuộc C và suy ra rằng $v\in$ Im $u.$)