Exercice 15, § 9

Soit G un groupe topologique localement compact, opérant proprement dans un espace topologique E ; soit $\rho$ une représentation de G dans un espace vectoriel réel de dimension finie V. On note $dg$ une mesure de Haar à droite sur G.

a) Soit $\mathscr{P}$ l’ensemble des parties $A$ de $E$ possédant la propriété suivante : il existe un recouvrement ouvert $(U_\alpha)_{\alpha \in I}$ de $E$ tel que pour tout $\alpha \in I$, l’ensemble des $g \in G$ tels que $gA \cap U_\alpha \neq \varnothing$ est relativement compact dans $G$. Démontrer que pour toute fonction continue $f : E \to V$ dont le support appartient à $\mathscr{P}$, l’application $x \mapsto \int_G \rho(g)^{-1} f(gx) dg$ est une application continue de $E$ dans $V$, compatible aux opérations de $G$. b) On fait l’une des hypothèses suivantes : (i) l’espace $E/G$ est régulier ; (ii) il existe un ouvert $U$ de $E$ et un compact $K$ de $G$ tels qu’on ait $E = GU$ et $gU \cap U = \varnothing$ pour $g \notin K$. Montrer que tout point $x$ de $E$ possède un voisinage qui appartient à $\mathscr{P}$ (dans le cas (i), prendre $A = V \cap W$, où $V$ est un voisinage de $x$ tel que $gV \cap V = \varnothing$ pour $g$ en dehors d’un compact de $G$, et $W$ un voisinage fermé de $Gx$, stable par $G$ et contenu dans $GV$). Tout point de $E$ possède un voisinage ouvert stable par $G$ et satisfaisant à (ii). c) On suppose de plus que $E$ est complètement régulier. Soient $x \in E, v \in V$ tels que le fixateur de $x$ soit contenu dans celui de $v$. Prouver qu’il existe une application continue $F : E \to V$, compatible aux opérations de $G$, telle que $F(x) = v$. (Soit $\mathscr{F}$ l’espace des fonctions numériques continues sur $E$ dont le support appartient à $\mathscr{P}$, et soit $u : \mathscr{F} \to V$ l’application $\alpha \mapsto \int_G \alpha(gx) \rho(g^{-1}) . v dg$. Soit $C$ un voisinage convexe de $v$ dans $V$; construire un voisinage $A$ de $x$ appartenant à $\mathscr{P}$, tel que $gx \in A$ entraîne $\rho(g^{-1}) . v \in C$, et une fonction $\alpha$ sur $E$, à support dans $A$, telle que $\alpha(x) \neq 0$ et $\int_G \alpha(gx) dg = 1$. Montrer que $u(\alpha)$ appartient à $C$ et en déduire que $v \in \operatorname{Im} u$.)