Bài tập 16, § 9

Cho G là một nhóm tôpô tác động đúng trên một không gian tôpô phân tách E. Cho $x$ là một điểm của E, H là nhóm giữ điểm của nó trong G, và S là một tập con của E chứa $x$ và ổn định dưới tác động của H. Nhóm H tác động bên phải trên $G\times S$ theo công thức $(g, s).h= (gh, h^{-1}s)$ với $g\in G, h\in H, s\in S$; ánh xạ $(g, s) \rightarrow gs$ cảm sinh bởi phép chuyển qua thương một ánh xạ từ $(G\times S)/H$ vào X. Khi đó S được gọi là một tập cắt tại $x$ nếu ánh xạ này là một phép đồng phôi lên một tập con mở của X.

a) Chứng minh rằng, nếu G là rời rạc, tồn tại một tập cắt tại $x$.

b) Cho F là một không gian tôpô phân tách trên đó G tác động đúng, và cho $f: E\rightarrow F$ là một ánh xạ liên tục, tương thích với các phép toán của G, sao cho nhóm giữ điểm của $f(x)$ trong G bằng H. Chứng minh rằng, nếu S là một tập cắt tại $f(x)$, thì $f^{-1}(S)$ là một tập cắt tại $x$.

c) Cho N là một nhóm con chuẩn đóng của $G,\pi : E\rightarrow E/N$ là phép chiếu chính tắc, T là một tập cắt tại $\pi (x)$ đối với phép toán của $G/N$ trên $E/N$, và $S\subset \pi^{-1}(T)$ là một tập cắt tại $x$ đối với phép toán của HN trên $\pi^{-1}(T)$. Chứng minh rằng S là một tập cắt tại $x$ trong E (đối với phép toán của G).