Exercice 16, § 9

Soit $G$ un groupe topologique opérant proprement sur un espace topologique séparé $E$. Soient $x$ un point de $E$, $H$ son fixateur dans $G$, $S$ une partie de $E$ contenant $x$, stable par $H$. Le groupe $H$ opère à droite dans $G \times S$ par la formule $(g, s) . h = (gh, h^{-1}s)$ pour $g \in G$, $h \in H$, $s \in S$; l’application $(g, s) \mapsto gs$ induit par passage au quotient une application de $(G \times S)/H$ dans $X$. On dit que $S$ est une transversale en $x$ si cette application est un homéomorphisme sur un ouvert de $X$. a) Si $G$ est discret, montrer qu’il existe une transversale en $x$. b) Soit $F$ un espace topologique séparé sur lequel $G$ opère proprement, et soit $f : E \to F$ une application continue, compatible aux opérations de $G$, telle que le fixateur de $f(x)$ dans $G$ soit égal à $H$. Si $S$ est une transversale en $f(x)$, montrer que $f^{-1}(S)$ est une transversale en $x$. c) Soient $N$ un sous-groupe fermé distingué de $G$, $\pi : E \to E/N$ la projection canonique, $T$ une transversale en $\pi(x)$ pour l’action de $G/N$ sur $E/N$, et $S \subset \pi^{-1}(T)$ une transversale en $x$ pour l’action de $HN$ sur $\pi^{-1}(T)$. Montrer que $S$ est une transversale en $x$ dans $E$ (pour l’action de $G$).