Bài tập 17, § 9

Cho G là một nhóm Lie. Ta sẽ chứng minh rằng G có tính chất sau:

(T) Với mọi không gian tôpô hoàn toàn chính quy E trên đó G tác động chính quy, và mọi điểm $x$ trong E, tồn tại một lát cắt tại $x$ (Bài tập 16). a) Chứng minh rằng mọi nhóm Lie có một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều trung thành đều thỏa mãn (T) (sử dụng Bài tập 15 và $16b$), cũng như Mệnh đề 6).

b) Chứng minh rằng, nếu G có một nhóm con chuẩn đóng N sao cho $G/N$ thỏa mãn (T) và sao cho KN thỏa mãn (T) với mọi nhóm con compact K của G, thì G thỏa mãn (T) (áp dụng Bài tập $16c$)$)$.

c) Nếu $G_0$ là compact, thì G thỏa mãn (T).

d) Chứng minh rằng, nếu G có một nhóm con chuẩn rời rạc N sao cho $G/N$ thỏa mãn (T), thì G thỏa mãn (T).

e) Chứng minh rằng G thỏa mãn (T) (đặt N là hạt nhân của biểu diễn phụ hợp; chứng minh rằng $G/N_0$ thỏa mãn (T), rồi áp dụng $a$)$,b)$ và Bài tập 9 của §1).