Exercice 17, § 9

Soit $G$ un groupe de Lie. On se propose de montrer que $G$ possède la propriété suivante : (T) Pour tout espace topologique complètement régulier $E$ sur lequel $G$ opère proprement, et tout point $x$ de $E$, il existe une transversale en $x$ (exerc. 16). a) Montrer qu’un groupe de Lie possédant une représentation linéaire fidèle de dimension finie satisfait à (T) (utiliser les exerc. 15 et 16, b), ainsi que la prop. 6). b) Si $G$ admet un sous-groupe fermé distingué $N$ tel que $G/N$ satisfasse à (T) et que $KN$ satisfasse à (T) pour tout sous-groupe compact $K$ de $G$, démontrer que $G$ satisfait à (T) (appliquer l’exerc. 16, c)). c) Si $G_0$ est compact, $G$ satisfait à (T). d) Si $G$ admet un sous-groupe discret distingué $N$ tel que $G/N$ satisfasse à (T), montrer que $G$ satisfait à (T). e) Montrer que $G$ satisfait à (T) (soit $N$ le noyau de la représentation adjointe ; prouver que $G/N_0$ satisfait à (T), puis appliquer a), b) et l’exerc. 9 du § 1).