Bài tập 2, § 9

Cho X là một đa tạp tách được thuộc lớp $C^r(1\leq r\leq \infty )$, đếm được ở vô cùng, và thuần chiều $n$.

a) Giả sử tồn tại một phép nhúng $\varphi$ của X vào một không gian vectơ hữu hạn chiều V. Hãy chứng minh rằng tồn tại một phép nhúng của X vào $\mathbf{R}^{2n+1}$ (nếu dim $V>2n+ 1$, hãy chứng minh rằng tồn tại một điểm $p$ của V sao cho, với mọi $x\in X$, đường thẳng nối $p$ với $\varphi (x)$ chỉ gặp $\varphi (V)$ tại điểm $\varphi (x)$, và cắt ngang nó tại điểm này; suy ra rằng có một phép nhúng của X vào một không gian có chiều bằng dim $V-1$).

b) Hãy chứng minh rằng tồn tại một phép nhúng của X vào $\mathbf{R}^{2n+1}$. (Gọi $\mathscr{O}$ là tập hợp các tập con mở của $X,\mathscr{U}$ là tập con của $\mathscr{O}$ gồm các tập mở U sao cho tồn tại một cấu xạ $\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}^{2n+1}$ mà hạn chế của nó trên U là một phép nhúng; bằng cách dùng $a$), hãy chứng minh rằng $\mathscr{U}$ là một tập con quasi-full (Tôpô đại cương, Chương IX, §4, Bài tập 27) của $\mathscr{O}$, và do đó bằng $\mathscr{O}.)$

c) Hãy chứng minh rằng tồn tại một phép nhúng thực sự của X vào $\mathbf{R}^{2n+1}$. (Hãy xây dựng một phép nhúng thực sự của X vào $\mathbf{R}^{2n+2}$ bằng một hàm thực sự trên X.)