Exercice 2, § 9

Soit X une variété séparée de classe $C^r$ ($1 \leqslant r \leqslant \infty$), dénombrable à l'infini, pure de dimension $n$. a) On suppose qu'il existe un plongement $\varphi$ de X dans un espace vectoriel V de dimension finie. Montrer qu'il existe un plongement de X dans $\mathbf{R}^{2n+1}$ (si $\dim V > 2n + 1$, démontrer qu'il existe un point $p$ de V tel que pour tout $x \in X$, la droite joignant $p$ à $\varphi(x)$ rencontre $\varphi(V)$ uniquement en $\varphi(x)$, et transversalement en ce point ; en déduire un plongement de X dans un espace de dimension égale à $\dim V - 1$. b) Montrer qu'il existe un plongement de X dans $\mathbf{R}^{2n+1}$. (Soient $\mathscr{O}$ l'ensemble des ouverts de X, $\mathscr{U}$ la partie de $\mathscr{O}$ formée des ouverts U tels qu'il existe un morphisme $\varphi : X \to \mathbf{R}^{2n+1}$ dont la restriction à U est un plongement ; montrer en utilisant a) que $\mathscr{U}$ est une partie quasi-pleine (TG, IX, p. 107, exerc. 27) de $\mathscr{O}$, donc égale à $\mathscr{O}$.) c) Montrer qu'il existe un plongement propre de X dans $\mathbf{R}^{2n+1}$. (A l'aide d'une fonction propre sur X, construire un plongement propre de X dans $\mathbf{R}^{2n+2}$.)