Bài tập 20, § 9

Cho G là một nhóm Lie compact, $m$ là một số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng tập hợp các lớp liên hợp của các nhóm con của G có cấp $\leq m$ là hữu hạn (giả sử điều này là sai, hãy xây dựng một nhóm hữu hạn F và một dãy các đồng cấu $\varphi_n: F\rightarrow G$ sao cho $\varphi_i(F)$ không liên hợp với $\varphi_j(F)$ đối với $i\not=j$, và sao cho $\varphi_n(f)$ hội tụ tới một giới hạn $\varphi (f)$ với mọi $f\in F$; chứng minh rằng $\varphi$ là một đồng cấu, và điều này dẫn tới một mâu thuẫn với Bài tập 19). b) Chứng minh rằng tập hợp các lớp liên hợp của các nhóm con F của G mà mọi phần tử của chúng đều có cấp $\leq m$ là hữu hạn (gọi $\mu$ là một độ đo Haar trên G, và gọi U là một lân cận đối xứng của phần tử đơn vị sao cho $U^2$ không chứa phần tử không tầm thường nào có cấp $\leq m$; chứng minh rằng Card(F) $\leq \mu(G)/\mu(U)$).