Exercice 20, § 9

Soient G un groupe de Lie compact, m un entier positif. a) Montrer que l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes de G d’ordre ≤ m est fini (supposant l’assertion fausse, construire un groupe fini F et une suite d’homomorphismes φ_n : F → G telle que φ_i(F) ne soit pas conjugué à φ_j(F) pour i ≠ j, et que φ_n(f) tende vers une limite φ(f) pour tout f ∈ F ; montrer que φ est un homomorphisme, et déduire une contradiction de l’exerc. 19). b) Montrer que l’ensemble des classes de conjugaison des sous-groupes F de G dont tous les éléments sont d’ordre ≤ m est fini (soit μ une mesure de Haar sur G, et soit U un voisinage symétrique de l’élément neutre tel que U^2 ne contienne pas d’élément d’ordre ≤ m ; prouver qu’on a Card(F) ≤ μ(G)/μ(U)).